Opis
Bardzo ważną i stosunkowo młodą dziedziną matematyki jest teoria punktów stałych, którą zapoczątkował i rozwinął polski matematyk Stefan Banach (1892-1945). Twierdzenie Schaudera, które zawarte jest w temacie pracy dotyczy także punktów stałych.
Dowód tego twierdzenia przedstawiony został w nieco inny sposób aniżeli można się z spotkać w podręcznikach analizy matematycznej.
Dowód twierdzenia Schaudera przedstawiony jest w oparciu o twierdzenie chińskiego matematyka Ky Fan, a pośrednio również na podstawie twierdzeń Spernera i Knastera-Kuratowskiego-Mazurkiewicza, które umieszczone zostały w drugim rozdziale.
Rozdział pierwszy stanowi część wstępną w której przedstawione zostały w formie skrótowej pewne wiadomości, twierdzenia oraz definicje zaczerpnięte z pracy [3] a wykorzystane w trakcie dowodów wymienionych wcześniej twierdzeń.
W ostatnim rozdziale przedstawione zostało zastosowanie twierdzenia Schaudera do równań różniczkowych oraz twierdzenie o charakteryzacji zbioru rozwiązań problemu Cauchy'ego, które to po raz pierwszy zauważył amerykański matematyk Aronszajn w 1942 r.
Problem charakteryzacji zbioru rozwiązań dla równań różniczkowych jest aktualnie intensywnie rozwijany przez wielu autorów.
R1 - wiadomości wstępne
§1 - przestrzenie metryczne
§2 - ciągi zbieżne w przestrzeni metrycznej
§3 - odwzorowania ciągłe
§4 - przestrzenie zupełne
§5 - przestrzenie zwarte
§6 - przestrzeń funkcji ciągłych
§7 - przestrzenie liniowe
§8 - przestrzenie unormowane
§9 - nierówność Gronwalla
R2 - twierdzenie Knastera-Kuratowskiego-Mazurkiewicza
§10 - sympleks i jego własności
§11 - odwzorowanie KKM
§12 - twierdzenie o punkcie stałym
R3 - zastosowanie twierdzenie Schaudera do równań różniczkowych
§13 - problem Cauchy'ego
§14 - twierdzenie Peano
§15 - charakteryzacja zbioru rozwiązań problemu Cauchy'ego
bibliografia
